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\hypersetup{
  pdftitle={Ch2 生命表与剩余寿命},
  pdfauthor={滕帆},
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\title{Ch2 生命表与剩余寿命}
\subtitle{保险精算学}
\author{滕帆}
\date{2023-09}
\institute{浙大宁波理工学院金融学系}

\begin{document}
\frame{\titlepage}

\begin{frame}[allowframebreaks]
  \tableofcontents[hideallsubsections]
\end{frame}
\hypertarget{ux4ebaux53e3ux7edfux8ba1demography}{%
\section{人口统计（Demography）}\label{ux4ebaux53e3ux7edfux8ba1demography}}

\begin{frame}{人口统计（Demography）}
\begin{itemize}
\item
  中国古代（人口）统计思想
\item
  人口统计主要指标
\item
  人口普查及其结果分析
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{中国古代(人口)统计思想}
\protect\hypertarget{ux4e2dux56fdux53e4ux4ee3ux4ebaux53e3ux7edfux8ba1ux601dux60f3}{}
\begin{quote}
不明于计数而欲举大事，犹无舟楫而欲经于水险也。(管仲)
\end{quote}

\begin{quote}
数者，臣主之术而国之要也。故万国失数而国不危，臣主失数而不乱者，未之有也。
(商鞅)
\end{quote}

\begin{quote}
强国知十三数:
竟内仓、口之数，壮男、壮女之数，老、弱之数，官、士之数，以言说取食者之数，利民之数，马、牛、刍藁之数。欲强国，不知国十三数，地虽利，民虽众，国愈弱至削。
(商鞅)
\end{quote}
\end{frame}

\begin{frame}{人口统计主要指标}
\protect\hypertarget{ux4ebaux53e3ux7edfux8ba1ux4e3bux8981ux6307ux6807}{}
\begin{block}{人口统计学}
\protect\hypertarget{ux4ebaux53e3ux7edfux8ba1ux5b66}{}
人口统计学是阐述收集整理描述反映人口总体现象的状态、变动过程及与社会经济发展的数量关系的科学。
\end{block}

\begin{block}{主要指标}
\protect\hypertarget{ux4e3bux8981ux6307ux6807}{}
\begin{enumerate}
\item
  \textbf{性别比}：总体性别比、特定年龄性别比、各个年龄组性别比
\item
  \textbf{育龄妇女生育率}：一定时期内（通常为一年）或者出生的婴儿数与同期平均育龄妇女（通常15-49岁）人数之比
\item
  \textbf{抚养比}：在人口当中非劳动年龄（0-15岁以及60或65岁以上）人口数对劳动年龄人口数的比率。又可分为：\textbf{老年人口抚养比}和\textbf{未成年人口抚养比}。
\item
  \textbf{粗率}：以千人为单位计算的比率，\textbf{粗死亡率}每千人的死亡人数，\textbf{粗出生率}每千人的出生人数。
\item
  \textbf{人口变动率}：人口自然增长率、人口迁移率。
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{中国人口普查 \footnote{资料来源：第七次人口普查主要数据
<http://www.stats.gov.cn/sj/pcsj/rkpc/d7c/202111/P020211126523667366751.pdf>}}
\protect\hypertarget{ux4e2dux56fdux4ebaux53e3ux666eux67e5}{}
\includegraphics[width=4.6875in,height=\textheight]{lifetable/census19531964.PNG}
\end{frame}

\begin{frame}
\includegraphics[width=4.6875in,height=\textheight]{lifetable/census19821990.PNG}
\end{frame}

\begin{frame}
\includegraphics[width=4.6875in,height=\textheight]{lifetable/census20002010.PNG}
\end{frame}

\begin{frame}{中国人口普查（续）}
\protect\hypertarget{ux4e2dux56fdux4ebaux53e3ux666eux67e5ux7eed}{}
\begin{columns}[T]
\begin{column}{0.45\textwidth}
\includegraphics[width=2.60417in,height=\textheight]{lifetable/census2020.PNG}
\end{column}

\begin{column}{0.55\textwidth}
\begin{itemize}
\item
  全国总人口为1443497378人（14.43亿），其中普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1411778724人；
\item
  全国人口与2010年第六次全国人口普查的1339724852人（13.40亿）相比，增加72053872人，增长5.38\%，年平均增长率为0.53\%。
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\hypertarget{ux751fux547dux8868life-table-mortality-table}{%
\section{生命表（Life Table / Mortality
Table）}\label{ux751fux547dux8868life-table-mortality-table}}

\begin{frame}{生命表（Life Table / Mortality Table）}
\begin{itemize}
\item
  中国人身保险业经验生命表
\item
  生命表基本函数
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{中国人身保险业经验生命表}
\protect\hypertarget{ux4e2dux56fdux4ebaux8eabux4fddux9669ux4e1aux7ecfux9a8cux751fux547dux8868}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
  中国人身保险业经验生命表（2010－2013）
\item
  China Life Insurance Mortality Table（2010－2013）
\item
  资料来源：\url{http://www.isc-org.cn/jgzc/5237.jhtml}
\end{itemize}

\begin{longtable}[]{@{}rrrrrrr@{}}
\toprule\noalign{}
age & CL1 & CL2 & CL3 & CL4 & CL5 & CL6 \\
\midrule\noalign{}
\endhead
0 & 0.000867 & 0.000620 & 0.000620 & 0.000455 & 0.000566 & 0.000453 \\
1 & 0.000615 & 0.000456 & 0.000465 & 0.000324 & 0.000386 & 0.000289 \\
2 & 0.000445 & 0.000337 & 0.000353 & 0.000236 & 0.000268 & 0.000184 \\
3 & 0.000339 & 0.000256 & 0.000278 & 0.000180 & 0.000196 & 0.000124 \\
4 & 0.000280 & 0.000203 & 0.000229 & 0.000149 & 0.000158 & 0.000095 \\
5 & 0.000251 & 0.000170 & 0.000200 & 0.000131 & 0.000141 & 0.000084 \\
6 & 0.000237 & 0.000149 & 0.000182 & 0.000119 & 0.000132 & 0.000078 \\
7 & 0.000233 & 0.000137 & 0.000172 & 0.000110 & 0.000129 & 0.000074 \\
8 & 0.000238 & 0.000133 & 0.000171 & 0.000105 & 0.000131 & 0.000072 \\
9 & 0.000250 & 0.000136 & 0.000177 & 0.000103 & 0.000137 & 0.000072 \\
\bottomrule\noalign{}
\end{longtable}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth,height=\textheight]{lifetable/lifetable.png}
\caption{分年龄死亡率}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{生命表基本函数}
\protect\hypertarget{ux751fux547dux8868ux57faux672cux51fdux6570}{}
\begin{itemize}
\item
  \((x)\)：一个年龄（周岁）为\(x\)的个人
\item
  \(\lx{x}\)：存活到x岁的人口数，x=0,1,2,\ldots,\(\omega-1\)
  ，其中\(\omega\)为终极寿命。
\item
  \(\dx[t]{x}\)：在x\textasciitilde x+t岁之间身故的人数。当t=1时，\(\dx{x}\)指的是(x)在未来一年内身故的人数
\item
  \(\qx[t]{x}\)：(x)在x\textasciitilde x+t岁之间身故的概率。当t=1时，\(\qx{x}\)指的是(x)在未来一年内身故概率
\item
  \(\px[t]{x}\)：(x)生存至x+t岁的概率。当t=1时，\(\px{x}\)指的是(x)在继续存活一年的概率
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
上述函数相互关系

\begin{enumerate}
\item
  \(\lx{x}\) 与 \(\dx[t]{x}\)的关系

  \begin{itemize}
  \item
    \(\lx{x}-\dx{x}=\lx{x+1}\)
  \item
    \(\lx{x}-\dx[t]{x}=\lx{x+t}\)
  \end{itemize}
\item
  \(\qx[t]{x}\)与\(\px[t]{x}\)的关系

  \begin{itemize}
  \item
    \(\qx{x}=\frac{\dx{x}}{\lx{x}}\)
    、\(\px{x}=\frac{\lx{x+1}}{\lx{x}}\)
  \item
    \(\qx[t]{x}=\frac{\dx[t]{x}}{\lx{x}}\)
  \item
    \(\px[t]{x}=\frac{\lx{x+t}}{\lx{x}}\)
  \item
    \(\qx{x}+\px{x} \equiv 1\)
  \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{例题1}
\protect\hypertarget{ux4f8bux98981}{}
利用下表计算：

\begin{itemize}
\item
  一个新生儿存活到3岁的概率
\item
  一个新生儿在1\textasciitilde3岁夭折的概率
\end{itemize}

\begin{longtable}[]{@{}rr@{}}
\toprule\noalign{}
x & lx \\
\midrule\noalign{}
\endhead
0 & 100000.00 \\
1 & 99913.30 \\
2 & 99851.85 \\
3 & 99807.42 \\
\bottomrule\noalign{}
\end{longtable}

解：\pause

\begin{itemize}
\item
  一个新生儿存活到3岁的概率 \(\frac{\lx{3}}{\lx{0}}\)
\item
  一个新生儿在1\textasciitilde3岁夭折的概率
  \(\frac{\lx{1}-\lx{3}}{\lx{0}}\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{生命表基本函数（续）}
\protect\hypertarget{ux751fux547dux8868ux57faux672cux51fdux6570ux7eed}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\qx[s|t]{x}\)：(x)生存了s年后在t年内身故的概率
\end{itemize}

\[
\begin{aligned}
\qx[s|t]{x}&=\frac{\lx{x+s}-\lx{x+s+t}}{\lx{x}} \\
&=\px[s]{x}-\px[s+t]{x} \\
&=\px[s]{x} \times \qx[t]{x+s} 
\end{aligned}
\]
\end{frame}

\begin{frame}{生命表基本函数（续）}
\protect\hypertarget{ux751fux547dux8868ux57faux672cux51fdux6570ux7eed-1}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\actsymb[t]{L}{x}\)：(x)在x\textasciitilde x+t岁生存的\textbf{人年数}。其中：\(\actsymb[t]{L}{x} \approx t\times \lx{x+t} + \frac{t}{2} \times \dx[t]{x}=\frac{n}{2}\left(\lx{x}+\lx{x+t}\right )\)。
\end{itemize}

特别地，当t=1时，\(L_x\approx\frac{\lx{x}+\lx{x+1}}{2}\)

\begin{itemize}
\item
  \(T_x\)：(x)人群的未来累积生存\textbf{人年数}。\(T_x=L_x+L_{x+1}+\ldots +L_{\omega-1}\)
\item
  \(\eringx{x}\)：(x)人群未来平均存活的时间，即平均余命。\(\eringx{x}=\frac{T_x}{\lx{x}}\)
\end{itemize}
\end{frame}

\hypertarget{ux5269ux4f59ux5bffux547d}{%
\section{剩余寿命}\label{ux5269ux4f59ux5bffux547d}}

\begin{frame}{剩余寿命}
\begin{itemize}
\item
  定义
\item
  分布函数
\item
  死亡力
\item
  平均余命
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{定义}
\protect\hypertarget{ux5b9aux4e49}{}
借助概率论中的随机变量和分布函数，对个体的未来剩余寿命进行数学化描述。

\begin{itemize}
\item
  (x)：一个年龄（周岁）为x的个人
\item
  T或T(x)：该个体的未来剩余寿命
\item
  x+T：该个体的死亡年龄
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{分布函数}
\protect\hypertarget{ux5206ux5e03ux51fdux6570}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
  T(x)是一个随机变量，令其概率分布函数\(G(t)\)为
\end{itemize}

\[
G(t)=Pr(T\leq t), \space t \geq 0
\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  若\(G(t)\)是连续的，则概率密度函数为\(g(t)=G'(t)\)，就有
\end{itemize}

\[
g(t)dt=Pr(t<T\leq t+dt)
\]
\end{frame}

\begin{frame}
\(G(t)\)与\(\qx[t]{x}\)、\(\px[t]{x}\)的关系

\(\qx[t]{x}\)：

\begin{itemize}
\item
  (x)在未来t年内身故的概率
\item
  用G(t)可以表示为\(\qx[t]{x}=Pr(T\leq t)=G(t)\)
\end{itemize}

\(\px[t]{x}\)：

\begin{itemize}
\item
  (x)在未来继续生存t年的概率
\item
  用G(t)可以表示为\(\px[t]{x}=Pr(T > t)=1-G(t)\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\(G(t)\)与\(\qx[s|t]{x}\)、\(\px[t]{x+s}\)的关系

\(\qx[s|t]{x}\)：

\begin{itemize}
\item
  (x)生存了s年，并在之后的t年内身故的概率
\item
  \(\qx[s|t]{x}=Pr(s<T \leq s+t)=G(s+t)-G(s)=\qx[s+t]{x}-\qx[s]{x}\)
\item
  \(\qx[s|t]{x}=\qx[s+t]{x}-\qx[s]{x}=\px[s]{x} \times \qx[t]{x+s}\)
\end{itemize}

\(\px[t]{x+s}\)：

\begin{itemize}
\item
  (x)生存了s年之后又生存了t年的概率
\item
  \(\px[t]{x+s}=Pr(T \geq s+t| T>s)=\frac{G(s+t)-G(s)}{1-G(s)}\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{死亡力}
\protect\hypertarget{ux6b7bux4ea1ux529b}{}
\begin{enumerate}
\item
  引入生存函数\(s(x)=1-F_X(x)=Pr(X>x)\)
\item
  定义死亡力为\(\mu_x\)，即(x)在x岁时的瞬间死亡率
\end{enumerate}

\[
\begin{aligned}
\mu_x &=\lim_{dt \to 0}\frac{s(x)-s(x+dt)}{s(x)\times dt}\\
&=-\frac{s'(x)}{s(x)}
\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
\tightlist
\item
  定义\(\mu_{x+t}\)为(x)在x+t时刻的死亡力，不加证明地给出如下关系
\end{enumerate}

\[
\mu_{x+t}=-\frac{d}{dt}\ln{\px[t]{x}}
\] \[
\px[t]{x}=e^{-\int_0^t{\mu_{x+s}ds}}
\]
\end{frame}

\begin{frame}
引入T的累积概率函数\(G(t)\)及其密度函数\(g(t)\)，\(g(t)\)与\(\mu_{x+t}\)的关系是：

\[
\begin{aligned}
g(t)&=G'(t) \\
&=\frac{d}{dt} \qx[t]{x}\\
&=\frac{d}{dt} \left[1-\frac{s(x+t)}{s(x)}\right] \\
&= -\frac{s'(x+t)}{s(x)}\\
&= -\frac{s'(x+t)}{s(x+t)} \times \frac{s(x+t)}{s(x)}\\
&=\px[t]{x}\times\mu_{x+t}
\end{aligned}
\]
\end{frame}

\begin{frame}{平均余命}
\protect\hypertarget{ux5e73ux5747ux4f59ux547d}{}
剩余寿命T的概率密度函数为\(g(t)=\px[t]{x}\times\mu_{x+t}\)，那么(x)平均余命

\[
\begin{aligned}
\eringx{x}&=E(T)\\
&=\int_0^\infty t\times\px[t]{x} \mu_{x+t}dt\\
&=\int_0^\infty \px[t]{x}dt
\end{aligned}
\]
\end{frame}

\begin{frame}{例题2}
\protect\hypertarget{ux4f8bux98982}{}
\begin{columns}[T]
\begin{column}{0.45\textwidth}
已知\(\lx{x}=10000\times \left(1-\frac{x}{100}\right)\)，其中\(0\leq x \leq 100\)，求以下各值：

\begin{enumerate}
\item
  \(\dx{30}\)、\(\px[20]{30}\)、\(\qx[30]{30}\)、\(\qx[10|]{30}\)
\item
  20岁的人在50到55周岁之间身故的概率
\item
  该人群的平均寿命
\end{enumerate}
\end{column}

\begin{column}{0.55\textwidth}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{例题2}
\protect\hypertarget{ux4f8bux98982-1}{}
\begin{columns}[T]
\begin{column}{0.45\textwidth}
已知\(\lx{x}=10000\times \left(1-\frac{x}{100}\right)\)，其中\(0\leq x \leq 100\)，求以下各值：

\begin{enumerate}
\item
  \(\dx{30}\)、\(\px[20]{30}\)、\(\qx[30]{30}\)、\(\qx[10|]{30}\)
\item
  20岁的人在50到55周岁之间身故的概率
\item
  该人群的平均寿命
\end{enumerate}
\end{column}

\begin{column}{0.55\textwidth}
(1)根据题意可知

\[
\begin{aligned}
\dx{30}&=\lx{30}-\lx{31} \\
&=10000\times \left[ \left(1-\frac{30}{100}\right)-\left(1-\frac{31}{100}\right)\right]\\
&= 100
\end{aligned}
\]

\(\px[20]{30}=\frac{\lx{50}}{\lx{30}}=\frac{5}{7}\)

\(\qx[30]{30}=\frac{\lx{30}-\lx{60}}{lx{30}}=\frac{3}{7}\)

\(\qx[10|]{30}=\frac{\lx{40}-\lx{41}}{\lx{30}}=\frac{1}{70}\)
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{例题2}
\protect\hypertarget{ux4f8bux98982-2}{}
\begin{columns}[T]
\begin{column}{0.45\textwidth}
已知\(\lx{x}=10000\times \left(1-\frac{x}{100}\right)\)，其中\(0\leq x \leq 100\)，求以下各值：

\begin{enumerate}
\item
  \(\dx{30}\)、\(\px[20]{30}\)、\(\qx[30]{30}\)、\(\qx[10|]{30}\)
\item
  20岁的人在50到55周岁之间身故的概率
\item
  该人群的平均寿命
\end{enumerate}
\end{column}

\begin{column}{0.55\textwidth}
(2)根据题意，即求\(\qx[30|5]{20}\)

\[
\begin{aligned}
\qx[30|5]{20}&=\frac{\lx{50}-\lx{55}}{\lx{20}}\\
&=\frac{1}{16}
\end{aligned}
\]
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{例题2}
\protect\hypertarget{ux4f8bux98982-3}{}
\begin{columns}[T]
\begin{column}{0.45\textwidth}
已知\(\lx{x}=10000\times \left(1-\frac{x}{100}\right)\)，其中\(0\leq x \leq 100\)，求以下各值：

\begin{enumerate}
\item
  \(\dx{30}\)、\(\px[20]{30}\)、\(\qx[30]{30}\)、\(\qx[10|]{30}\)
\item
  20岁的人在50到55周岁之间身故的概率
\item
  该人群的平均寿命
\end{enumerate}
\end{column}

\begin{column}{0.55\textwidth}
(3)平均寿命为 \[
\begin{aligned}
\eringx{0}&=\int_0^\infty \px[t]{0}dt\\
&=\int_{0}^{100}\left(1-\frac{t}{100}\right)dt\\
&=50
\end{aligned}
\]
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\end{document}
